Razão entre cateto oposto e adjacente
Tangente é uma função trigonométrica calculada a partir da divisão entre os catetos oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo nada mais é do que uma figura geométrica com três ângulos internos e composto de catetos (menores lados) e hipotenusa (maior lado), conforme ilustração ao lado.
Para a tangente, leva-se em consideração apenas o cateto oposto e o cateto adjacente, lados que formam o ângulo de 90°.
Conceitos importantes
Esse assunto exige o conhecimento de alguns conceitos importantes. Trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Já as funções trigonométricas referem-se aos ângulos retângulos. São elas: seno, cosseno e tangente.
Cosseno é a divisão entre cateto adjacente e hipotenusa e seno é a razão entre cateto oposto e hipotenusa. A tangente diz respeito apenas à divisão entre os catetos.
Vale reforçar também o conceito de Círculo Trigonométrico, que é uma circunferência usada nos estudos das razões trigonométricas para representar números reais relacionados aos ângulos.
Tangente de um ângulo
Como é possível identificar a tangente de um ângulo? Analise a imagem abaixo:
Triângulo retângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Por meio dessa figura, pode-se determinar que:
tg (a) = (cateto oposto a a)/(cateto adjacente a a)
tg (a) = AB/AC
tg (a) = C/B
Tangente dos ângulos notáveis
São denominados ângulos notáveis aqueles calculados facilmente. São eles: 30°, 45° e 60°.
Triângulo equilátero. (Foto: Educa Mais Brasil)
A imagem acima representa um triângulo equilátero, com os três lados iguais. Dessa forma, a medida da altura deve ser calculada da seguinte forma:
No caso do ângulo de 45°:
Tangente de um ângulo de 45º. (Foto: Educa Mais Brasil)
tg (45º) = x/x = 1
Sendo assim, a tabela dos ângulos notáveis pode ser da seguinte forma:
Tabela dos ângulos notáveis. (Foto: Educa Mais Brasil)
Função tangente
A fórmula a seguir define a função de uma tangente:
Veja a imagem abaixo:
Círculo trigonométrico. (Foto: Educa Mais Brasil)
Este é um círculo trigonométrico. A tangente estará sempre paralela ao eixo das ordenadas (y). Dessa maneira, será sempre positiva nos quadrantes 1 e 3 e negativa nos quadrantes 2 e 4. Portanto, a função é válida para todo x real.
Logo, para identificar uma tangente, é importante observar as seguintes características:
- Os quadrantes ímpares terão valores positivos;
- Os quadrantes pares terão valores negativos;
- Crescente em cada valor.
Gráfico da função tangente
Pode-se construir o gráfico dessa função a partir da seguinte tabela:
Tabela da função tangente. (Foto: Educa Mais Brasil)
Gráfico da função tangente. (Foto: Educa Mais Brasil)
As retas onde a função tangente não existe são chamadas assíntonas: x=p2+kp.
Lei das tangentes
Essa lei estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.
Levando-se em consideração os elementos a, b e c como comprimentos dos três lados do triângulo e a, ß e os ângulos opostos a estes referidos lados é possível determinar que:
Lei das tangentes.
Nos casos de triângulos não isósceles (aqueles que possuem dois lados com a mesma medida), a lei das tangentes estabelece as seguintes relações:
Lei das tangentes em triângulos não isósceles.
A lei das tangentes pode ser demonstrada ainda a partir da lei dos senos:
Lei das tangentes a partir da lei dos senos.
Razões trigonométricas no vestibular
Esse é um dos assuntos que podem cair na prova de matemática do vestibular, portanto, é muito importante se atentar aos detalhes de cada um dos elementos do triângulo retângulo, conforme explicado nesse texto.
Pode-se resumir as principais diferenças entre seno, cosseno e tangente da seguinte maneira:
- A razão entre os ângulos que formam o outro ângulo agudo (menor que 90º) é o seno. sen A = cateto oposto/hipotenusa;
- A divisão entre a medida do cateto adjacente e a hipotenusa é o cosseno: cos A = cateto adjacente/hipotenusa;
- Por fim, a tangente é a razão entre os catetos: tg A = cateto oposto/cateto adjacente.
Compreendendo as diferenças entre essas três funções, fica muito mais fácil resolver as questões de trigonometria da maneira correta.
Curiosidades
Você sabe qual a origem da tangente? A palavra vem do latim “tangens” e quer dizer “o que toca”. Ela surgiu muito depois da criação do seno e do cosseno por conta da necessidade de se calcular grandes alturas. Sua definição como “tangente a um círculo” aparece no livro III da obra Elementos, de Euclides, por volta de 300 a.C.
Inicialmente, os astrônomos desenvolveram os conceitos de seno e cosseno para mensurar longas distâncias em linha reta entre dois pontos situados no planeta.