Expressão que relaciona as medidas do triângulo retângulo
O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais aplicados na matemática, principalmente em problemas da Geometria e Trigonometria.
O teorema serve, sobretudo, para relacionar os lados de um triângulo retângulo – figura geométrica plana composta por um ângulo reto (90°) e outros dois ângulos agudos (menores que 90°).
Seu enunciado afirma que "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa." Isto é:
a² = b² + c²
Características do Teorema de Pitágoras
Como vimos, o teorema baseia-se nos lados do triângulo retângulo. Eles são chamados de hipotenusa e catetos.
O maior lado do triângulo é a hipotenusa (oposto ao ângulo de referência). Já os catetos formam o ângulo reto e são classificados de oposto e adjacente.
Quando o lado aparece perto do ângulo de 90° é o adjacente. No sentido contrário, o oposto.
Terno Pitagórico
Terno pitagórico é uma sequência numérica no qual três elementos se encaixam perfeitamente no Teorema de Pitágoras. Ou seja, dois números que elevados ao quadrado e somados (b²+c²) resultarão em um quadrado perfeito (a²) e, consequentemente, em uma raiz com número inteiro.
Nestas circunstâncias, os catetos e hipotenusa são chamados de terno pitagórico, trio pitagórico ou triângulo pitagórico. Eles foram descobertos quando elevou-se ao quadrado os primeiros 5 mil números naturais e os somaram de dois em dois.
Esses procedimentos deram origem a 5 primeiros ternos pitagóricos de sequência aleatória. Para identificar se as medidas do triângulo formam um terno, basta aplicar a fórmula do próprio teorema.
A sequência numérica 3,4 e 5 é um dos mais conhecidos, pois, a partir deles, outros trios foram criados. Eles são nomeados de trio pitagórico primitivo.
a² = b² + c²
Substituindo:
52 = 42 + 32
5.5 = (3 . 3) + (4 . 4)
25= 9 +16
25=25
Por meio da multiplicação do trio primitivo com números naturais é possível determinar novos ternos. Dessa forma, se escolhemos multiplicá-los por 3, obtemos o trio 9,12 e 15.
Caso multiplicássemos o 9,12 e 15 por outro número natural encontraríamos outro trio e assim sucessivamente. Por isso, existe uma infinidade de ternos pitagóricos:
• 6,8,10
• 12,16,20
• 20, 21,29
• 13, 84, 85
• 11, 60, 61
O trio primitivo (3,4,5) é o único formado por números consecutivos. Os demais são considerados ternos primitivos raros – dois primeiros algarismos naturais consecutivos ou sequências de números primos.
Números Irracionais no Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras deparou-se com um desafio quando o triângulo retângulo apresentou catetos de mesma medida (iguais a 1). Dessa maneira, não haveria valor racional para a hipotenusa.
A partir desse impasse iniciou-se os estudos para uma nova classificação dos números, os irracionais.
Essa categoria é composta por algarismos decimais e infinitos. As frações e sequências numéricas não os representam, pois são indivisíveis para números inteiros. O primeiro racional encontrado foi a raiz de dois (1, 414213562373…) e o mais famoso é o PI (3,14592653589793238...).
Aplicação
Vamos determinar a medida da hipotenusa do triângulo retângulo abaixo:
Aplicação do teorema no triângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Percebe-se que os valores acima são dos catetos. Logo, a outra medida é da hipotenusa. Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:
Aplicação da fórmula.
Se a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 cm e um dos catetos mede 9 cm, o tamanho do outro cateto é:
Aplicação da fórmula.
O teorema pode ser utilizado para calcular a diagonal de um quadrado e na altura do triângulo equilátero – figura plana de lados iguais.