Triângulo formado por números binomiais
O triângulo de Pascal, como o nome sugere, é um triângulo aritmético infinito de forma organizada por coeficientes binominais. Esse triângulo é dividido em linhas e colunas, que têm início a partir do número 0 (zero).
Os coeficientes binomiais, também chamados de números binomiais, são representados da seguinte forma:
Binômio.
O número “n” é o numerador e “p” denominador, n e p são números naturais e n ≥ p. Esse número binomial é calculado através da expressão abaixo:
Cálculo binômio.
Sendo,
•C n,p: combinação simples com n elementos tomados p a p;
•n!: fatorial de um número n qualquer;
•p!: fatorial de um número k qualquer.
Recorda como calcular o fatorial de um número? É bem simples, basta fazer a multiplicação de todos os antecessores desse número até o 1. Por exemplo, 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.
Mas atenção! Por definição, 0! = 1 e 1! = 1. Para saber outras propriedades e características de n! leia o artigo sobre fatorial.
Passo a passo para construção do triângulo de Pascal
No triângulo de Pascal os coeficientes binomiais estão organizados de forma que os coeficientes de um mesmo numerador fiquem ocupam na mesma linha, enquanto os coeficientes do denominador na mesma coluna. Veja na imagem abaixo:
Organização triângulo de Pascal. (Foto: Educa Mais Brasil)
Lembrando que tanto as linhas como colunas têm início no 0. A quinta linha possui cinco números binomiais, todos com numerador quatro. Bem como na terceira linha, todos os binominais têm o número dois no denominador.
De forma simplificada, podemos afirmar que o numerador de todos os binomiais que estão em uma linha é o mesmo. Assim como o denominador de todos os números binomiais de uma dada coluna é igual ao número da coluna.
No triângulo de Pascal as linhas possuem finitos elementos, que correspondem ao respectivo número da linha somado a um. Por exemplo, a quinta linha possui o quatro no numerador que somado a um é igual a cinco.
Veja abaixo a organização dos binômios, mostrados anteriormente, já desenvolvidos:
Resolução do triângulo de Pascal.
O cálculo parece até difícil, mas não é. Para alcançar os resultados da imagem acima, basta calcular um a um os números binomiais com nos exemplo dos números destacados em azul e vermelho:
Cálculo binômios.
Algumas propriedades do triângulo de Pascal
Propriedade 1 – também chamada de Relação de Stifel, de acordo com essa propriedade, todo número que faz parte do triângulo é um resultado da soma dos dois números que estão acima dele.
Relação de Stifel.
Veja abaixo um exemplo dessa propriedade:
Demonstração da relação de Stifel. (Foto: Educa Mais Brasil)
2² propriedade – denominada de Teorema das Linhas, essa propriedade refere-se às linhas do triângulo. Segundo ela, a soma dos elementos de uma linha de numerador n será igual a 2n.
Observe o exemplo abaixo:
Demonstração Teorema das Linhas. (Foto: Educa Mais Brasil)
3² propriedade – denominado de Teorema das Colunas, essa propriedade está relacionada às colunas do triângulo. Segundo ela, a soma dos binomiais de uma coluna, com início no primeiro elemento, tem como resultado o binomial à direita da linha abaixo do último elemento que foi somado.
Observe o exemplo abaixo:
Demonstração Teorema das Colunas. (Foto: Educa Mais Brasil)
História
Os primeiros registros sobre o triângulo de Pascal surgiram na China, século XII, nas obras do matemático Chu Shi-kié. Posteriormente, o poeta e matemático Omar Khayyám apropriou-se do triângulo para descobrir raízes n-ésimas.
Na Alemanha também teve evidências do triângulo de Pascal. Por volta do século XVI, ele foi mencionado no livro de Petrus Apianus, no entanto, somente com Blaise Pascal, que estudou as suas propriedades, se popularizou acerca das teorias das probabilidades.
Esse triângulo recebe várias denominações. Na Itália é conhecido como triângulo de triângulo de Tartaglia, na China de triângulo de Yang Hui ou ainda triângulo aritmético e triângulo combinatório.