Categoria de triângulo que possui ângulo interno de 90°
O triângulo retângulo é a forma geométrica que possui um ângulo reto (90°) e dois outros ângulos agudos (menores que 90°). A soma de todos os ângulos internos do triângulo retângulo corresponde a 180°, o que caracteriza como um ângulo raso. Já seus dois ângulos agudos são conhecidos como complementares, já que a soma dos dois resultará em 90º.
Características do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é formado por propriedades específicas que mudam de acordo com a posição do ângulo reto.
Lados de um triângulo retângulo (Foto: Wikipédia)
Lados
• Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto, sendo a maior lateral do triângulo retângulo. É representado na figura pela letra “h”.
• Catetos: lados que compõem o próprio ângulo reto. Caso o lado esteja perto do ângulo reto, é conhecido como adjacente; se tiver em sentido contrário, é conhecido como oposto. São representados na figura pelas letras “a” e “b”.
• Altura relativa à hipotenusa: comprimento entre a hipotenusa e o vértice oposto.
• Projeções dos catetos: separação da altura da hipotenusa em duas partes.
Ângulos (Â)
Em todos os triângulos retângulos os ângulos internos são: um reto e dois agudos. Os vértices dos ângulos são representados na figura por “A”, “B” e “C”.
Por isso, temos:
• C é o ângulo de 90°(reto)
• A e B são os ângulos menores de 90° (ângulos agudos)
Área (S)
Para encontrar a área de um triângulo retângulo, basta dividir por 2 o resultado da multiplicação da base (b) pela altura (h).
A fórmula fica:
Área do triângulo retângulo
A área é sempre calculada em centímetro quadrado (cm²), metro quadrado (m²) ou quilômetro quadrado (Km²).
Perímetro (P)
O perímetro de uma figura geométrica plana sempre será a soma dos seus lados. É calculado da seguinte forma:
P= 3. L
O perímetro é calculado em centímetro (cm), metro (m) ou quilômetro (km).
Relações Métricas do Triângulo Retângulo
As relações métricas de um triângulo retângulo são representadas pelas interações entre os segmentos que compõem essa figura geométrica. Podemos entender essas relações das seguintes maneiras:
Relações métricas do triângulo retângulo (Foto: Wikipédia)
a: medida do lado oposto ao ângulo reto (hipotenusa)
b e c: são os catetos
h: altura da hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Sendo assim, temos:
A hipotenusa é resultado da soma das projeções:
a = m + n
O quadrado da altura da hipotenusa é igual ao resultado das projeções dos catetos:
h² = m.n
O quadrado de um cateto é igual ao resultado entre a sua projeção e a hipotenusa:
b² = a.m
c² = a.n
O resultado entre a hipotenusa e sua altura equivale ao resultado dos catetos:
a.h = b.c
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras):
a² = b² + c²
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é um dos fundamentos mais conhecidos e utilizados pela matemática, especialmente na resolução de questões da geometria plana, geometria espacial, geometria analítica e trigonometria.
O teorema serve para encontrar a dimensão dos lados de uma triângulo retângulo. A fórmula, que é bastante conhecida, é utilizada da seguinte forma:
a² (hipotenusa) = b² (cateto oposto) + c² (cateto adjacente)
Na matemática, quando o tamanho dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros e positivos, é conhecido como triângulo pitagórico. Nessa categoria, os catetos e hipotenusas são chamados de “terno pitagórico primitivo” ou “trio pitagórico”. Para entender se o comprimento dos três lados de um triângulo retângulo formam um trio, basta utilizar a fórmula base do Teorema de Pitágoras.
Um terno pitagórico primitivo é um terno em que os números são primos entre si. Os valores 3, 4 e 5, por exemplo, são um dos primeiros ternos primitivos estudados pela matemática. Vejamos no exemplo:
a² = b² + c²
Substituindo:
5² = 4² + 3²
5 x 5 = (3 x 3) + (4 x 4)
25 = 9 + 16
25 = 25
Neste caso, a hipotenusa é o número 5 porque, como já vimos, ela compõe o maior lado de um triângulo retângulo. O cateto maior é o número 4 e o cateto menor o número 3.
Pelo fato de serem primos entre si, podemos notar que os múltiplos desses mesmos números também se transformam em um novo terno pitagórico.
Então, se multiplicarmos por 3 os valores 3, 4 e 5, encontraremos os resultados 9, 12 e 15 e assim sucessivamente. Vamos colocar na fórmula para testar a formação de um novo trio pitagórico a partir dos múltiplos de 9, 12 e 15.
a² = b² + c²
Substituindo:
45²= 36² + 27²
45 x 45 = (36 x 36) + (27 x 27)
2025 = 1296 + 729
2025 = 1296
Existe uma infinidade de outros ternos pitagóricos primitivos. Segue abaixo alguns deles:
• 9,40,41
• 7,24,25
• 12,35,37
• 11,60,61
• 20,21,29
Triângulo Retângulo e a Trigonometria
A trigonometria é a vertente da matemática que estuda as interações entre os lados e ângulos do triângulo reto (90°). Sendo assim, as funções trigonométricas de um triângulo retângulo são:
Seno: encontrado através da divisão entre os lados que formam um dos ângulos agudos
Fórmula do seno
Cosseno: encontrado através da divisão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa
Fórmula do cosseno
Tangente: encontrado através da divisão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos
Fórmula da tangente
Cotangente: também é encontrado através da divisão entre os catetos
Fórmula da cotangente
Secante: encontrado através da divisão entre os lados que formam o ângulo
Fórmula da secante
Cossecante: assim como na secante, também é encontrado através da divisão entre os lados que formam um dos ângulos agudos
Fórmula da cossecante
Você sabia?
• O matemático Regiomontanus foi o primeiro a separar os estudos da trigonometria da astronomia, mas foi o astrônomo Hiparco de Niceia quem inseriu a trigonometria nos estudos científicos.
• Os ternos pitagóricos primitivos foram encontrados antes mesmo do próprio Pitágoras. Eles apareceram em problemas matemáticos dos povos da Babilônia e, posteriormente, foram estudados pelos pitagóricos, por Platão e de forma mais intensa na obra de Euclides de Alexandria, conhecido como pai da geometria.
• No livro “The Pythagorean Proposition” encontram-se 370 explicações diferentes para o Teorema de Pitágoras.
• O Teorema de Pitágoras é extremamente importante para a matemática, mas contém uma falha: quando o valor dos catetos do triângulo retângulo são iguais, a hipotenusa não terá uma valor racional.
• Para calcular a distância entre as margens de qualquer rio, basta fixar um ponto em alguma margem e medir o ângulo que se forma entre esse ponto e a outra margem. Essa estrutura vai parecer um triângulo retângulo, onde já sabe-se o ângulo, o cateto adjacente (distância que se caminhou até fixar o ponto), faltando apenas o cateto oposto (distância entre as margens). A fórmula da tangente do ângulo resolve rapidamente essa dúvida (tg A = cateto oposto / cateto adjacente).