Os triângulos são figuras que compõe o universo geométrico e trigonométrico
A trigonometria é uma palavra que tem origem no grego trigonon (triângulo) + metron (medida). Esse ramo da matemática estuda as relações entre os lados e os ângulos do triângulo, sendo também utilizado diversas áreas de conhecimento como química, biologia, geografia, astronomia, física e engenharia, etc.
O surgimento da trigonometria está relacionado com os estudos da astronomia. Ainda que a data de sua origem seja incerta, os povos egípcios, com o Papiro Rhind, e os babilônicos, com a tábua cuneiforme Plimpton 322, ofereceram importantes contribuições para o aperfeiçoamento da área.
O Papiro Rhind ou Ahmes, datado aproximadamente no ano 1650 a.C, foi adquirido pelo advogado e antiquário escocês A. H. Rhind, em 1855. Rhind identificou no papiro um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes.
Já o Plimpton 322 é uma tabela em escrita cuneiforme com registros da matemática babilônica. Esta tabela foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre 1900 a 1600 a.C, preenchida com tabelas e colunas, mas somente em 2017, concluíram que as quatro colunas e as 15 fileiras representam a tabela de trabalho trigonométrico.
A Grécia também ofereceu contribuições para a trigonometria. Euclides de Alexandria, em sua obra, 'Os Elementos', apresentou alguns conceitos trigonométricos representados por meio de formas geométricas. Na obra é possível encontrar as leis dos senos e dos cossenos para ângulos obtusos e agudos.
No mesmo período, Ptolomeu apresentou também uma tábua de cordas contendo o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º, que mais tarde foram utilizados nos estudos astronômicos. Ptolomeu também foi responsável pela produção da Syntaxis Mathematica, considerada a mais significativa obra da trigonometria da antiguidade.
Triangulo retângulo
O foco da trigonometria é o triângulo retângulo. Na geometria, denomina-se triângulo retângulo o polígono que possui um ângulo chamado reto (90º) e dois ângulos menores chamados ângulos agudos. A soma de todos os ângulos internos deve ser 180°.
Quanto a nomenclatura dos lados do triângulo, a hipotenusa é o maior lado do triângulo e oposto ao ângulo reto. Já os catetos são dois: o adjacente, que sempre estará ao lado do ângulo de referência e o oposto, como o nome já diz estará contrário.
O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudo da trigonometria. Ele relaciona a medida dos lados do triângulo, por meio do enunciado: a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa, representado da seguinte forma:
a² = b² + c²
Sendo: a (hipotenusa), b (cateto) e c (cateto).
Representação da trigonometria por meio do triângulo retângulo. (Foto: Educa Mais Brasil)
Por exemplo, com base no Teoremas de Pitágoras, para determinar a medida “a” do triângulo retângulo abaixo deve-se fazer o cálculo posterior:
A relação entre a trigonometria e o Teorema de Pitágoras. (Foto: Educa Mais Brasil)
a² = b² + c²
a² = 12² + 5²
a² = 144 + 25
a² = 169
va² = v169
a= 13
Círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico, também chamado de ciclo ou circunferência trigonométrica, é um elemento circular que possui raio 1 e centro - colocado no ponto O = (0,0) de um plano cartesiano. Cada ponto do círculo está relacionado a um número real, geralmente expresso em função de p.
O círculo trigonométrico também possui duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto de interseção. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: sentido negativo (horário) e o sentido positivo (anti-horário), por onde ele geralmente tem início.
Quadrantes círculo trigonométrico. (Foto: Educa Mais Brasil)
As medidas dos ângulos no círculo podem ser identificadas em graus ou em radianos, pois são diretamente proporcionais. Entenda:
• 1° corresponde a 1/360 da circunferência, que é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
• 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.
Abaixo algumas relações entre graus e radianos:
• p rad = 180°
• 2p rad = 360°
• p/2 rad = 90°
• p/3 rad = 60°
• p/4 rad = 45°
Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro e são chamados de quadrantes. Esses quadrantes também são dispostos no sentido anti-horário e são numerados de 1 a 4, e dispostos no círculo trigonométrico da seguinte forma:
• 1º Quadrante: 0 até p/2 ou 0º;
• 2º Quadrante: p/2 até p ou 90º;
• 3º Quadrante: p até 3p/2 ou 180º;
• 4º Quadrante: 3p/2 até 2pou 270º.
Quadrantes círculo trigonométrico em graus
e raios. (Foto: Educa Mais Brasil)
Razões e funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente
As razões trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo, sendo as principais: o seno, o cosseno e a tangente. Essa razões trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo
É importante saber que as razões trigonométricas também são funções periódicas, pois seus valores se repetem em cada intervalo (período).
Seno (sen) - representado pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo, descrito pela fórmula:
Fórmula seno
Fórmula da função seno: f(x) = senx
Domínio da função seno: D = R
Imagem da função seno: Im = [ -1,1]
Período da função seno: 2 p
Gráfico da função seno
Cosseno (cos) - representado pela razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo retângulo, descrito pela fórmula:
Fórmula cosseno
Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx
Domínio da função cosseno: D = R
Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1]
Período da função cosseno: 2 p
Gráfico da função cosseno
Tangente (Tg) - representada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo, descrito pela fórmula:
Fórmula tangente
Fórmula da função tangente: f(x) = tgx
Domínio da função tangente: D = R
Imagem da função tangente: Im = [-8, 8]
Período da função tangente: p
Gráfico da função tangente
Ângulos notáveis
Em trigonometria são chamados de ângulos notáveis aqueles que aparecem com maior frequência nos cálculos, ganhando menção honrosa em relação a tantos outros. Deste modo, conhecer os valores em seno, cosseno e tangente é muito vantajoso.
Tabela dos ângulos notáveis. (Foto: Educa Mais Brasil)
Resumo sobre trigonometria
Com origem no grego trigonon (triângulo) + metron (medida), trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos do triângulo. Além disso, pode ser usada também na química, biologia, geografia, astronomia, física e engenharia, etc.
O título de "pai da trigonometria" foi conferido ao astrônomo Hiparco de Nicéia, que, no século II a.C., apresentou um tratado com 12 volumes nos quais tratava da trigonometria com profundo conhecimento.
O título de "pai da trigonometria" foi conferido ao astrônomo Hiparco de Nicéia, que, no século II a.C., apresentou um tratado com 12 volumes nos quais tratava da trigonometria com profundo conhecimento.